有關不等式的應用題

例談中考試題的不等式應用題

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中考對不等式這壹知識點的考查，從2001年全國各地的試題看，過去那種傳統題型已明顯減少或正在消失，而代之以更具活力的應用題的形式出現。眾所周知，能力的落腳點在應用，不等式同其它知識壹樣，壹旦走向應用，就更具有廣闊的市場，如河北省的中考試題中，數學應用題分值高達71分，占59%，其中不等式應用題就有兩題，廣州市的中考試卷甚至以不等式的應用題為壓軸題。本文僅就不等式應用題的特征與解答作些探討，僅供參考。

壹、單壹不等式應用題

例1、(河北省)在壹次“人與自然”知識競賽中，競賽試題中***有25道題，每道題都給出4個答案，其中只有壹個答案正確，要求學生把正確答案選出來，每道題選對得4分，不選或選錯倒扣2分，如果壹個學生在本次競賽中得分不低於60分，那麽他至少選對了______道題。

評析：不等式應用題的難點之壹是辨別它與方程應用題的異同，如何列出不等式，要善於抓住題中“不低於”、“至少”等字詞的數學含義。本題中對“倒扣2分”應理解為不選或選錯，實際應扣6分，故當設選對了x道題，則不選或選錯題為(25-x)道，則有

100-6(25-x)≥60

解出：x≥18x=19，即他至少選對了19道題。

例2、(某市)足球比賽的計分規則為：勝壹場得3分，平壹場得1分，負壹場得0分，壹個隊應打15場已負3場，若要想積22分，那麽這個隊至少還要勝(　　)

A、3場　　　　B、4場　　　　C、5場　　　　D、6場

評析：壹場足球比賽結果有三種情況：勝、平、負，若設還要勝x場，其余為打平，則

3x+12-x≥22　　推出x≥5

為什麽不能列方程：3x+12-x=22，因實際得分小於或等於3x+12-x(以後的比賽中有可能輸)，故

3x+12-x≥實際得分=22

例3、(北京市東城區)商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電量為1度，而B型節能冰箱每臺售價雖比A型冰箱高出10%，但每日耗電量卻為0.55度，現將A型冰箱打折出售(打壹折後的售價為原來的)，問商場至少打幾折，消費者購買才合算(按使用期為10年，每年365天，每度電0.40元計算)。

解：現將A型冰箱打x折出售，購買才合算，依題意有：

2190×+365×10×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4

推出x≤8

即商場應將A型冰箱至少八折出售，消費者購買才合算。

評相：本例運用解不等式為市場營銷中的購銷行為提供決策。

二、綜合方程式，函數式的不等式應用題

例4、(山西省)某商場計劃投入壹筆資金采購壹批緊俏商品，經過市場調查發現，如果月初出售可獲利15%，並可用本利和再投資其他商品，則月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付出倉庫儲倉費用700元，請問根據商場的資金狀況，如何購銷獲利較多？

解：設投資x元，在月初出售，到月末可獲利y1元；在月末出售可獲利y2元，由題意有：y1=15%·x+10%·(x+15%·x)=0.265x

y2=x·0.3-700=0.3x-700

(1)當y1=y2時，解：0.265x=0.3x-700推出x=2000元

(2)當y1＜y2時，解：0.265x＜0.3x-700推出x＞2000元

(3)當y1＞y2時，解：0.265x＞0.3x＜700推出x＜2000元

即當商場投入2000元時，兩種經營方式獲利相同，當投資超過2000元時，第二種方式獲利較多，當投資不足2000元時，按第壹種方式獲利較多。

評析：由第(1)問得出兩個函數式，(2)(3)兩問則利用解不等式，對經營方式進入擇優決策，不等式的應用在此得到了很好的發揮。

例5、(重慶市)為保護長江，減少水土流失，我市某縣決定對原有的坡荒地進行退耕還林，從1995年起在坡荒地上植樹造林，以後每年又以比上壹年多植相同面積的樹木改造坡荒地，由於每年因自然災害，樹木成活率、人為因素等的影響，都有相同數量的新坡荒地產生，下表為1995、1996、1997三年的坡荒地面積和植樹面積的統計數據，假設坡荒地全部種上樹後，不再水土流失，問到哪壹年可以將全縣所有坡荒地全部種上樹木。

　 1995

1996

1997

每年植樹的面積(畝)

100

1400

1800

植樹後機關報坡荒地折面積(畝)

25200

24000

22400

(2)為節約用水，這個市規定：該廠日用水量不超過20噸水時，水價為每噸4元；日用水量超過20噸時，超過部分按每噸40元收費，已知該廠日用水量不少於20噸，設該廠日用水量為t噸，當日所獲利潤為W元，求W與t的關系式；該廠加強管理，積極節水，使日用水量不超過25噸，不少於20噸，求該廠的日利潤的取值範圍。

解：(1)設y=kx+b，依題意有：

推出，

推出y=-x+204

當x=10，y=194，即每噸10元時，1噸水生產飲料所獲利潤為194元

(2)由(1)知y=-x+204，當x=4時，y=200，x=40時，y=164

∴W=200×20+164(t-20)=164t+720(t≥20)

∴t=，由20≤t≤25，即

20≤≤25，

推出4000≤W≤4820

即該廠日利潤不少於4000元，且不超過4820元

評價；本題涉及不等式、方程式、函數式的綜合。

例7、(濟南市)某班在布置新年聯歡晚會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的短形彩條如右圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下寬為1cm的矩形彩條a1，a2，a3……若使裁得的矩形彩條的長都不小於5cm，則將每張直角三角形彩紙裁成的矩形紙條的總數是(　　)

A、24　　　　B、25　　　　C、26　　　　D、27

分析：設可裁n條矩形紙條，如圖設第n條矩形的長EF=x，則

，

x=(30-n)，又x≥5，

即(30-n)≥5n≤26

∴n=26，故選(C)。

這是壹道綜合方程式的不等式應用題。

例8、(蘇州市)某園林的門票每張10元，壹次使用，考慮到人們的不同需求，也為了吸引更多的遊客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出壹種“購買個人年票”的售票方法(個人年票從購買日起，可供持票者使用壹年)，年票分A、B、C三類：A類年票每張120元，持票者進入園林時無需再購買門票；B類年票60元，持票者進入園林時，需再購買門票每次2元；C類年票每張40元，持票者進入園林時，需要購買門票，每次3元。

(1)如果妳只選擇壹種購買門票的方式，並且妳計劃在壹年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出可使進入該園林的次數最多購票方式。

(2)求壹年中進入園林至少超過多少次時，購買A類門票比較合算？

分析：問題(1)是用80元買門票通過三種形式比較擇優決出進入園林次數最多的購票方式，顯然排除A類年票；

若選B類年票，則次數為

=10(次)；

若選C類年票，則次數為

=13次；

若不購年票，隨買隨進，則只能進

=8次

經上述比較，購買C類年票進入園林的次數較多為13次

問題(2)涉及不等式，設至少超過x次購買A類門票比較合算，則有：

故壹年中進入園林至少超過30次時，購買A類門票比較合算。

本例以旅遊為背景，借助不等式這壹知識為旅遊提供合算的消費決策。象這種不等式的應用題在過去的中考試題中很少見到。

例9、(廣州市)在車站開始檢票時，有a名旅客在候車室排隊等候檢票進站，檢票開始後仍有旅客繼續來檢票進站，設旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的，若開放壹個檢票口，則需30分鐘才可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個檢票口，則只需10分鐘便可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在5分鐘內將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使後來到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時開放幾個檢票口？

分析：本例建立數學模型是難點，涉及旅客人數，檢票速度，開放檢票口個數都需以字母表出，再理清等量關系(方程)與不等量關系(不等式)設陸續進站的旅客每分鐘x人，每個檢票口每分鐘檢y人，要在5分鐘內檢票完畢同時開放n個檢票口，則由題意有：

①-②並化簡：y=2x，

代入①，a=30(y-x)=30x

將y=2x，a=30x代入③，

35x≤10nxn≥3.5n=4

本例以旅客進站檢票為背景，利用方程與不等式等數學知識，為疏通旅客流量，合理安排檢票口，為旅客提供優質高效服務的最優決策。象這種以不等式的應用題作為中考試題的壓軸題，以前從未出現過，是中考史上的首例。

例10、(陜西)乘某城市的壹種出租汽車起價是10元(即行駛路程在5km以內都需付10元車費)，達到或超過5km後，每增加1km加價1.2元(不足1km按1km計)現在某人乘此出租汽車從A到B付車費17.2元，問從A到B大約有多少路程？

分析：設從A到B大約為xkm，則：

16＜10+(x-5)×1.2≤17.210＜x≤11

即從A到B大約長10至11公裏

例11、(某市)某通訊公司規定在營業網內通話收費為：通話前3分鐘0.5元，通話超過3分鐘每分鐘加收0.1元(不足1分鐘按1分鐘計算)某人壹次通話費為1.1元，問此人此次通話時間大約為多少？

分析：設此人通話時間為x分鐘，則：