畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘著名的數學家和哲學家。他曾經創立了壹個集政治、學術和宗教於壹體的神秘主義學派:畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯提出的著名命題“壹切都是數”是這個學派的哲學基石。“所有的數都可以表示為整數或整數的比值”是這個學派的數學信念。然而具有戲劇性的是，畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯數學信仰的“掘墓人”。畢達哥拉斯定理提出後，其學派成員希帕索斯考慮了壹個問題:邊長為1的正方形的對角線長度是多少？他發現這個長度不能用整數或分數來表示，只能用壹個新的數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第壹個無理數√2的誕生。小√2的出現在當時的數學界掀起了壹場巨大的風暴。直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，讓畢達哥拉斯學派人心惶惶。事實上，這壹偉大發現不僅是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。這對當時所有古希臘人的思想都是壹個巨大的沖擊。這個結論的悖論在於它與常識的沖突:任何量都可以表示為任意精度範圍內的有理數。這不僅在當時的希臘是壹個被廣泛接受的信念，即使是在測量技術已經高度發達的今天，這個論斷也無壹例外的正確！但是，被我們的經驗所信服，完全符合常識的結論，卻被壹個小小的√2的存在推翻了！這應該是多麽違背常識，多麽可笑！它只是顛覆了以前的認識。更糟糕的是，面對這種荒謬，人們無能為力。這直接導致了當時人們的認識危機，從而引發了西方數學史上的壹場大風暴，被稱為“第壹次數學危機”。
第二個數學危機源於微積分工具的使用。隨著人們對科學理論和實踐認識的提高，微積分這壹尖銳的數學工具在十七世紀幾乎同時被牛頓和萊布尼茨獨立發現。這個工具壹出來，就顯示出了它非凡的威力。使用這個工具後，許多難題變得容易了。但是牛頓和萊布尼茨的微積分理論都不嚴格。他們的理論都是建立在無窮小分析的基礎上，但他們對無窮小這壹基本概念的理解和應用是混亂的。因此，微積分從誕生之日起就受到壹些人的反對和攻擊。其中，攻擊最猛烈的是英國大主教貝克勒。
羅素悖論和第三次數學危機。
19世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，該理論剛產生時就遭到了許多人的嚴厲抨擊。但很快這壹開創性的成果就被廣大數學家所接受，並贏得了廣泛而高度的贊譽。數學家發現，從自然數和康托爾的集合論出發，整個數學大廈就可以建立起來。因此，集合論成了現代數學的基石。“壹切數學成就都可以基於集合論”的發現讓數學家們陶醉。1900年，在國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊興高采烈地宣稱:“……借助集合論的概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說已經達到了絕對的嚴格……”
然而好景不長。1903，壹個震驚數學界的消息出來了:集合論有缺陷！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構建了壹個集合S: S是由所有不屬於自己的元素組成的。然後羅素問:S屬於S嗎？根據排中律，壹個元素要麽屬於壹個集合，要麽不屬於壹個集合。所以，對於壹個給定的集合，問它是否屬於自己是有意義的。但這個看似合理的問題，答案會陷入兩難。如果s屬於s，根據s的定義，s不屬於s；另壹方面，如果S不屬於S，那麽根據定義，S也屬於S。無論如何都是矛盾的。
事實上，這個悖論在羅素之前的集合論中就已經發現了。比如在1897中，Burali和Folthy提出了最大序數悖論。1899年，康托爾本人發現了最大基數悖論。但由於這兩個悖論在集合中涉及到很多復雜的理論，所以只在數學領域產生了很小的漣漪，未能引起很大的關註。羅素悖論則不同。非常簡單易懂，只涉及集合論中最基本的東西。所以羅素悖論壹提出就在當時的數學界和邏輯界引起了極大的震動。例如，g .弗雷格在收到羅素介紹這壹悖論的信後悲傷地說:“壹個科學家遇到的最不愉快的事情，就是他的基礎在工作結束時崩塌。拉塞爾先生的壹封信就讓我陷入了這種境地。”戴德金因此推遲了他的文章《數字的本質和功能是什麽》的第二版。可以說，這個悖論就像是在數學平靜的水面上扔了壹塊巨石，它引起的巨大反響導致了第三次數學危機。
危機過後，數學家們提出了自己的解決方案。希望通過限制集合的定義來改造康托的集合論，消除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以確保消除所有的矛盾；另壹方面，它必須足夠寬泛，以便康托爾集合論中所有有價值的內容都可以保留下來。”1908年，策梅羅根據自己的原理提出了第壹個公理化集合論體系，後來被其他數學家改進，稱為ZF體系。這個公理化的集合論體系在很大程度上彌補了康托樸素集合論的缺陷。除了ZF系統，集合論還有許多公理系統，如Neumann等人提出的NBG系統，公理集合論系統的建立成功地排除了集合論中的悖論，從而成功地解決了第三次數學危機。但另壹方面，羅素悖論對數學的影響更為深遠。它使數學的基本問題第壹次以最迫切的需求擺在數學家面前，引導數學家去研究數學的基本問題。這方面的進壹步發展深刻地影響了整個數學。比如圍繞數學基礎的爭論，在現代數學史上形成了三個著名的數學學派，每個學派的工作都推動了數學的大發展。